Annons

Helena Granström:Är oändligheten bara ett uttryckssätt?

Den matematiska oändlighetens svindlande egenskaper gör det frestande att betrakta den enbart som en matematisk kuriositet. Men likafullt intar den en central position i den moderna fysikens teorier. Hur den egentligen ska förstås är något som fortfarande gäckar fysikerna.

Under strecket
Publicerad

Den italienske konstnären Lucio Fontana (1899–1968) gjorde snitt i färgade taveldukar för att på sitt vis gestalta det oändliga.

Foto: IBL Bild 1 av 1

Den italienske konstnären Lucio Fontana (1899–1968) gjorde snitt i färgade taveldukar för att på sitt vis gestalta det oändliga.

Foto: IBL Bild 1 av 1
Den italienske konstnären Lucio Fontana (1899–1968) gjorde snitt i färgade taveldukar för att på sitt vis gestalta det oändliga.
Den italienske konstnären Lucio Fontana (1899–1968) gjorde snitt i färgade taveldukar för att på sitt vis gestalta det oändliga. Foto: IBL

För en matematiker, har det sagts, är oändligheten ett tal som tillåts växa obegränsat. För en fysiker är den en katastrof.

Åtminstone i en viss bemärkelse måste detta sägas vara sant; den fysiker som vid en beräkning får oändligheten som resultat kan utgå ifrån att hennes teori antingen inte är tillämplig, eller att hon begått ett misstag. Att fysikens teorier talar om för oss att rumtidens krökning är oändlig i centrum av ett svart hål, eller att kraften mellan två elektriskt laddade partiklar blir oändlig när avståndet mellan dem minskar till noll, säger med stor sannolikhet mindre om verkligheten än om dessa teoriers tillkortakommanden.  

Så har fysiker också arbetat hårt för att göra sig av med sina oönskade oändligheter. Ett exempel på när detta har lyckats är den metod för så kallad ”renormering” som gjort kvantfältteorin till den välfungerande teori den är idag genom att klippa av dess beräkningar innan de hinner ge upphov till oändliga resultat. En oändlighets­problematik som ännu saknar lösning uppstår i försöken att förena kvantmekanik och relativitetsteori – något som hittills genererat så många obegränsade nonsensresultat att det börjar framstå som hopplöst. 

Annons
Annons

Men oändligheten är långt ifrån enbart katastrofal inom fysikvetenskapen. Man skulle lika gärna kunna ­beskriva den som hela den moderna teoretiska fysikens bas. Oändlighet, i form av det oändligt stora eller det oändligt delbara, återfinns som antagande inom snart sagt alla ­delar av fysikens teoribygge, ett faktum som kanske manifesteras allra tydligast i dess bruk av reella tal, det vill säga tal som i regel kräver ett oändligt antal decimaler för att anges. Också kvantmekaniken, vars introduktion av diskreta energinivåer innebar ett steg bort från kontinuumet, kräver kontinuerliga variabler för att ­beskriva sina tillstånd, och hyser inte sällan dessa tillstånd i ett så kallat Hilbertrum av oändlig dimension.

En annan del av den teoretiska fysiken som har oändligheten både som förutsättning och resultat är den så kallade inflationshypotesen som beskriver universums ­utveckling i termer av en intensiv och mycket snabb uppblåsning av rymden. Inflationen skapar en oändlig rymdvolym genom att utvidga ett oändligt töjbart rum obegränsat, och liksom den svensk-amerikanske fysikern Max Tegmark påpekar i antologin ”This idea must die” (Harper Perennial, 2015), förutsätter detta att rummet saknar en minsta odelbar enhet – att utrymmet mellan tummen och pekfingret, liksom den matematiska tal­linjen, rymmer ett oändligt antal punkter.

Även om inflationsteorin på senare år intagit en plats bland våra mest ansedda kosmologiska teorier, finns det goda skäl att vara misstänksam både mot dess antagande om ett kontinuerligt rum och dess förutsägelse av oändligheten som en fysisk verklighet. Att oändligheten existerar på ett strikt matematiskt plan tycks dock ställt bortom tvivel: trots att den kan verka både undflyende och obegriplig infinner den sig redan vid betraktandet av matematikens kanske allra enklaste objekt: de naturliga talen. Till och med det barn som trevande börjar räkna 1, 2, 3 frammanar den ovetandes, för har vi räknat till 3 kan vi alltid räkna till 4, och på samma sätt till 5, 6, 7 och så vidare utan slut. Eller som matematikprofessorn Eugenia Cheng skriver i sin ­nyligen utkomna bok ”Beyond infinity” (Basic Books), en lättsam men gedigen redogörelse för oändligheten i matematiken: fråga ett barn om det högsta tal han eller hon vet, och när barnet svarar ”en triljon”, se dess ögon vidgas när du säger ”men hur är det då med en triljon plus ett?”.

Annons
Annons

Att oändligheten är möjlig att definiera som matematiskt objekt, betyder emellertid inte att ens matematikerna förstår den fullt ut, och konceptet har genom historien gett upphov till stora kontroverser. I boken ”A brief history of infinity” (Robinson Publishing, 2003) ger författaren Brian Clegg en utförlig beskrivning av de intellektuella positioner som genom historien intagits i förhållande till oändligheten, och hur denna den mest ogripbara av idéer har påverkat dem som ägnat sig åt den. 

En tänkare som tidigt ställde sig frågan om begreppets innebörd var Aristoteles, som efter omsorgsfulla över­väganden tyckte sig ha klarlagt ”de sätt på vilka oändligheten existerar, och de sätt på vilka den inte existerar”. Vad Aristoteles ansåg sig kunna fastslå var att oändligheten existerar som koncept men inte som verklighet i samma bemärkelse som de olympiska spelen existerar även när de inte hålls.

Talserien 1, 2, 3, 4 ... kan förstås som oändlig just i denna ofullbordade mening: hur länge vi än räknar kommer vi aldrig fram till oändligheten vilket innebär att vi kan tolka den som en sorts ouppnåeligt mål, en sista utpost som vi kan föreställa oss men aldrig kommer att stöta på. Samma tanke finns inbyggd i det ­matematiska begreppet ”gränsvärde”, där en viss talserie löper mot oändligheten, eller mot något visst ändligt värde, utan att för den skull någonsin nå fram, liksom summanderna i en integral kan närma sig nollstorlek, utan att någonsin faktiskt bli noll.  

På motsvarande sätt är det lättare att tänka sig ett universum som utvidgas under oändlig tid, men vars ­utsträckning är ändlig vid varje given tidpunkt, än ett som är i verklig mening oändligt: en potentiell oändlighet snarare än en faktisk, för att använda sig av Aristoteles definition. Men får man tro fysiken är det faktiskt ingen skillnad: inflationsteorin visar hur det som för en observatör framstår som ett ändligt universum som utvidgas i oändlig tid, för en annan ser ut som ett oändligt universum, som dessutom också alltid varit oändligt.

Annons
Annons

Och för att återvända till den rena matematiken visar det sig att vi tvingas erkänna existensen av fullbordade oändligheter även där. Clegg beskriver hur den italienske matematikern och filosofen Bernard Bolzano vid 1800-­talets mitt öppnade för ett nytt sätt att betrakta oändligheten. I Bolzanos beskrivning framträder den, ­åtminstone i jämförelse med den potentiella oändlig­hetens undanglidande gräns, som i det närmaste gripbar.

Mängden av heltal, menade Bolzano, är oändlig alldeles oavsett om vi förmår räkna upp alla dess element, och faktum är att en ännu mer kompakt oändlighet gömmer sig mellan 0 och 1 på den reella tallinjen. Inom detta intervall ryms nämligen ett oändligt antal decimaltal, alla med ett oändligt antal decimaler, mellan de oändligt många rationella talen – sådana tal som kan skrivas på formen a/b. Från denna utgångspunkt kunde den tyske matematikern Georg Cantor några decennier senare fortsätta med att utforska oändlighetens olika aspekter, vilket så småningom kom att leda fram såväl till mängdläran som till en kategorisering av olika typer av oändligheter, och i viss mening till en ny förståelse av matematiken som helhet.

Inom fysiken och matematiken är det av avgörande vikt att inte blanda ihop oändligheten med det väldigt stora; ett ändligt tal, hur stort det än är, kommer alltid att bete sig som ett vanligt tal, medan oändligheten uppträder på ett helt annat sätt. För att ta några exempel är oändlighet plus ett oändlighet, oändlighet plus oändlighet fortfarande oändlighet, och oändlighet gånger oändlighet – just det, oändlighet.

Annons
Annons

Sådana kontraintuitiva egenskaper hos oändligheten ger upphov till allvarliga problem om vi föreställer oss att den skulle realiseras fysiskt
i vårt universum. De flesta versioner av inflationsteorin beskriver en rumtid som genomgår inflationens kraftfulla utvidgning i evighet, och hur inflationens avstannande i en viss ­avgränsad ­region i rymden blir denna regions big bang; alltså början på ett nytt universum inneslutet i ett oändligt växande multiversum. Hur kommer ett sådant universum då i allmänhet att te sig, och hur sannolikt är ett universum av den typ vi själva bebor? Problemet är att ­begreppet sannolikhet helt tycks förlora sin mening inför oändligheten. I en oändlig rymd realiseras alla möjliga partikelkonfigurationer, och därmed alla möjliga världar, ett oändligt antal gånger. Ett oändligt multiversum innehåller med fullständig säkerhet ett oändligt antal universum vi tänker oss är typiska, men med lika stor säkerhet ett oändligt antal av de mest extrema alternativ. Detta är i förenklad form det kosmologiska måttproblemet, av många betraktat som ett av ämnets allvarligaste, och dess kärna består i svårigheten att på ett korrekt sätt jämföra en oändlighet med en annan. 

Men åtminstone inom den rena matematiken har det visat sig att denna till synes omöjliga uppgift faktiskt är lösbar – att en oändlighet, hur svårbegripligt det än ter sig, kan sägas vara större än en annan, till och med oändligt mycket större. Insikter som tidigare tangerats av tänkare som Galileo Galilei – exempelvis observationen att ett kort intervall av tallinjen tycks innehålla lika många punkter som ett längre – formaliserades genom enträget och påfrestande arbete av Cantor. Vad han så småningom fann var en sorts oändligheternas hierarki, där det visar sig att exempelvis mängden av heltal och mängden av ­rationella tal placerar sig på samma nivå – att dessa oändligheter i en specifik bemärkelse är lika stora. De reella talen däremot, faktiskt till och med bara en liten bit av den ­reella tallinjen, är av en annan sort; de utgör, om man så vill, en större oändlighet.

Med oändlighetens alla absurda egenskaper i minnet ligger det nära till hands att betrakta den som en sorts matematisk kuriositet, och en i vissa sammanhang ­användbar approximation, snarare än en del av den fysiska verkligheten. Kanske ligger det någonting i det som den tyske 1800-talsmatematikern Carl Friedrich Gauss en gång ­påstod: “Oändligheten är bara ett uttryckssätt.” För den ­moderna fysiken skulle en sådan till synes anspråkslös ­insikt kunna bära på fröet till en revolution. 

Annons
Annons
Annons
Annons
Annons